基础数学示例

$\frac{\sqrt{3} (\cos (315) + i \sin (315))}{\sqrt{6} (\cos (45) + i \sin (45))}$

解题步骤 1

把 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{6}$ 组合为一个单根式。

$\frac{\sqrt{\frac{3}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 2

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{3 (1)}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (45) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.2

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \sin (45)))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.4

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2}))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.5

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.6

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.7

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.8

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.9

合并和化简分母。

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解题步骤 3.9.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.9.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.9.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.9.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.9.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.9.6.5

计算指数。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 3.10

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\cos (45) + i \sin (45)}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (45)}$

解题步骤 4.2

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.3

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.3

乘以 $\sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 6.3.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.4

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{4} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2^{2}} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\frac{2 - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.4.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 - i {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.4.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.4.5

计算指数。

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{2 - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.5

约去 $2 - 2 i$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (1) - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.5.2

从 $- 2 i$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (1) + 2 (- i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.5.3

从 $2 (1) + 2 (- i)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.5.4

约去公因数。

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解题步骤 6.5.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.5.4.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 6.5.4.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1 - i}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 7

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

解题步骤 8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

约去公因数。

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

解题步骤 8.2

重写表达式。

$(1 - i) \frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

解题步骤 9

将 $\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ 。

$(1 - i) (\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}})$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ 。

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}$

解题步骤 10.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2} - i {\sqrt{2}}^{2} + i {\sqrt{2}}^{2} - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 10.3

化简。

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 10.4

运用分配律。

$1 \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 10.5

将 $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 10.6

组合 $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ 和 $i$ 。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - \frac{(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

解题步骤 10.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - (\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

解题步骤 11

化简每一项。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} - (- i \sqrt{2})) i}{4}$

解题步骤 11.2

乘以 $- (- i \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + 1 (i \sqrt{2})) i}{4}$

解题步骤 11.2.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + \sqrt{2} i) i}{4}$

解题步骤 11.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i i}{4}$

解题步骤 11.4

乘以 $\sqrt{2} i i$ 。

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解题步骤 11.4.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i)}{4}$

解题步骤 11.4.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i^{1})}{4}$

解题步骤 11.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{1 + 1}}{4}$

解题步骤 11.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{2}}{4}$

解题步骤 11.5

化简每一项。

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解题步骤 11.5.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} \cdot - 1}{4}$

解题步骤 11.5.2

将 $- 1$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - 1 \cdot \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 11.5.3

将 $- 1 \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 12

化简项。

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解题步骤 12.1

从 $\sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{- i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + 0}{4}$

解题步骤 12.2

重新排序 $- \sqrt{2} i$ 的因式。

$\frac{- i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 0}{4}$

解题步骤 12.3

从 $- i \sqrt{2}$ 中减去 $i \sqrt{2}$ 。

$\frac{- 2 i \sqrt{2} + 0}{4}$

解题步骤 12.4

将 $- 2 i \sqrt{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 i \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 12.5

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.1

从 $- 2 i \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 12.5.2

约去公因数。

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解题步骤 12.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 (2)}$

解题步骤 12.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.5.2.3

重写表达式。

$\frac{- i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 12.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{i \sqrt{2}}{2}$

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